Oletetaan, että matkustat tasaisella nopeudella ja ajat yhden metrin sekunnissa. Keskimääräinen nopeutesi on

$$ \ frac {1 \ {\ rm m}} {1 \ {\ rm s}} = 1 \ frac {\ rm m} {\ rm s}. $$

Jos pidät 1 millisekunnin välein 1 sekunnin sisällä, katat yhden millimetrin. Keskimääräinen nopeutesi tuossa milisekunnissa on

$$ \ frac {1 \ {\ rm mm}} {1 \ {\ rm ms}} = 1 \ frac {\ rm m} {\ rm s}. $$

Jos pidät yhden mikrosekunnin välein 1 sekunnin sisällä, peität 1 mikronin. Keskimääräinen nopeus kyseisessä mikrosekunnissa on

$$ \ frac {1 \ {\ rm \ mu m}} {1 \ {\ rm \ mu s}} = 1 \ frac {\ rm m} {\ rm s}. $$

Jos pidät yhden nanosekunnin välein 1 sekunnin sisällä, katat yhden nanometrin. Keskimääräinen nopeutesi tuossa nanosekunnissa on

$$ \ frac {1 \ {\ rm nm}} {1 \ {\ rm ns}} = 1 \ frac {\ rm m} {\ rm s}. $$

Huolimatta siitä, kuinka pientä aikaväliä ajattelet, kuljettu matka pienenee suhteellisesti, ja keskimääräinen kulunut nopeus pysyy 1 m / s sen sijaan, että putoaisi 0: een.

Siksi sanomme, että keskimääräisen nopeuden raja , kun aikaväli lähestyy nollaa, on nollasta poikkeava arvo (esimerkissäni 1 m / s).

$$ v_ \ text {keskimääräinen} = \ frac {\ Delta s} {\ Delta t} $$ $$ v_ \ text {instantaneous} = \ lim _ {\ Delta t \ to0} \ frac {\ Delta s} {\ Delta t} $$

• Jos aikaväli pienenee äärettömän pieneksi $ \ Delta t \ arvoon 0 $ , olet dividing jollain hyvin, hyvin pienellä - joten luvusta tulee hyvin iso: $$ \ frac {\ cdots} {\ Delta t} \ to \ infty \ quad \ text {when} \ quad \ Delta t \ to0 $$
• Jos sijainnin muutos saa äärettömän pienen $ \ Delta s \ arvoon 0 $ , olet multiplying jollakin hyvin, hyvin pienellä - joten luvun tulisi muuttua hyvin pieni: $$ \ frac {\ Delta s} {\ cdots} \ to 0 \ quad \ text {when} \ quad \ Delta s \ to0 $$

Entä jos molemmat tapahtuvat samanaikaisesti, $ \ frac {\ Delta s} {\ Delta t} $ ? Entä jos, kuten sinun tapauksessasi, $ \ Delta s $ on sidottu ryhmään $ \ Delta t $ niin että kun toisesta tulee hyvin pieni, myös toisen tekee? Mistä sitten tiedät, mikä niistä vaikuttaa numeroon eniten? Nimittäjä vai osoittaja? Tuleeko lukumäärä hyvin suuri vai hyvin pieni?

$$ \ frac {\ Delta s} {\ Delta t} \ to \ text {?} \ quad \ text {when} \ quad \ Delta t \ to0 $ $

Näyttää siltä, ​​että oletat, että pieni muutos sijainnissa $ \ Delta s $ hallitsee, joten tuloksen pitäisi mennä kohti $ 0 $ - mutta miksi et olettaa, että aikaväli $ \ Delta t $ hallitsevat sen sijaan, joten tulos menee kohti ääretöntä $ \ infty $ ?

Vastaus on, että arvoista riippuen voi tapahtua mitä tahansa.Se riippuu niiden välisestä tarkasta suhteesta.Jos tulos menee kohti äärettömän suurta määrää, sanomme, että se on diverging.Jos se vakiintuu tietylle määrälle, sanomme, että se on : ta yhdistävä .Työssä fysiikan kanssa näet sen usein lähentyvän, koska käsittelet usein arvoja, jotka ovat toisistaan riippuvaisia ja jotka "tasapainottuvat" jollakin tuloksena olevalla luvulla.Nopeuden tapauksessa tulos todellakin lähentyy kohti jotakin arvoa, jota sitten päätämme kutsua nimellä instantaninen nopeus.

Tässä laskennassa on kyse: matemaattisesta kurinalaisuudesta mennä kohti - lähentyä kohti - rajaa ja sitten selvittää, mikä raja on.