Hyvän analogian näiden kahden välillä voidaan antaa kahdella muulla esimerkillä poikkeavuuksista, jotka ovat mahdollisesti tutumpia.

Tarkastellaan kenttäteoriaa, jolla on globaali symmetria, ota $ U (1) $ yksinkertaisuuden vuoksi. Klassisella tasolla liikkeen yhtälöt johtavat konservoituneen virran olemassaoloon (Noetherin lause).

Kvanttitasolla virran säilyminen on pätevä operaattoriyhtälönä, nimittäin se on voimassa korrelaattoreissa erillisissä pisteissä . Kaksi vaikutusta, jotka ovat luonteeltaan hyvin erilaisia ​​ja joihin viitataan poikkeavuuksina, ovat:

1) Korrelaattoreissa voi olla kosketustermejä (ts. Termejä, jotka eivät ole nollia vain, kun kaksi tai useampia korrelaattorin operaattorit arvioidaan samassa pisteessä), jotka eivät noudata operaattoriyhtälöä. 4D-kenttäteoriassa tämä tapahtuu tyypillisesti kolmen nykyisen operaattorin korrelaattoreissa. Tätä kutsutaan joskus nimellä 't Hooft-poikkeama. Se ei merkitse symmetrian rikkoutumista, koska nykyisen operaattorin säilyminen on edelleen voimassa erillisissä pisteissä, ja yksi saa silti konservoidun varauksen. Se johtaa kuitenkin mielenkiintoisiin rajoituksiin (tällaisten kosketustermien kertoimien on vastattava UV: n ja IR: n välillä, jos symmetria ei ole rikki RG-virtauksen varrella).

2) Kvanttiefektejä voi olla (voit voi ajatella niitä silmukakorjauksina, olettaen, että olemme häiritsevässä ympäristössä), jotka rikkovat operaattoriyhtälöä jopa erillisissä pisteissä . Tällöin symmetria rikkoutuu, aivan kuten jos lisäät termin Lagrangin kielessä, joka ei kunnioita symmetriaa. Säilytettyä veloitusta ei enää ole.

1) ja 2) suhde voidaan selittää hieman hienostuneessa esimerkissä. Ota globaaliksi symmetriaksi $ U (1) ^ 2 $ . Sinulla voi olla tyypin 1 poikkeama korrelaattorissa, johon sisältyy yksi ensimmäisen $ U (1) $ -virta ja kaksi toisen $ U (1) $ . Oletetaan, että teoriaa muokataan mittaamalla toinen $ U (1) $ , eli kytkemällä toisen $ U ( 1) $ dynaamisiin mittakenttiin. Uudessa mitatussa teoriassa ensimmäinen $ U (1) $ rikkoo tyypin 2 poikkeama). Sen virran ero ei ole nyt nolla, ja se saadaan toisen $ U (1) $ : n mittakenttien Pontryagin-tiheydestä.

Ensimmäinen esimerkki jäljitettävistä poikkeamista, josta keskustelet, on 1) analogi, kun taas toinen on 2), kun globaalin $ U (1) $ sijasta otamme huomioon dilataation symmetrian. Ensimmäinen esimerkki ei edusta symmetrian rikkomista, se on vain lausunto siitä, että tietyt kosketustermit korrelaattoreissa, joissa on useita energiamomentti-tensorin lisäyksiä, eivät ole yhteensopivia jäljittämättömyyden kanssa. Toinen esimerkki on sen sijaan aito symmetrian rikkominen. Analogia $ U (1) $ -symmetrian kanssa ei käy läpi, kun yritämme liittää 1) 2: een, koska vastaa "virran kytkemistä mittariin" field "johtaisi dynaamiseen painovoimaan, joka vie meidät pois kvanttikenttäteorian alueelta.

Tästä analogiasta tulee erittäin konkreettista supersymmetrisissä teorioissa. Siellä energia-momenttiantori kuuluu samaan ns. R-symmetriaan liittyvän virran kerrokseen. Supersymmetria yhdistää tämän virran 't Hooft-poikkeaman ensimmäisen tyyppiseen jäljitys-poikkeavuuteen, josta keskustelet (eli niillä on sama kerroin). Lisäksi, kun laajennussymmetria rikkoutuu mittarikytkennällä toisen tyyppisen jäljityspoikkeaman kautta, josta keskustelet, virralla on tyypin 2 poikkeama). Jälleen jälkipoikkeamalla ja nykyisellä poikkeavalla on sama kerroin supersymmetrisesti.

Nämä kahden tyyppiset jäljityspoikkeamat ovat yhteydessä toisiinsa, mutta ne ovat erillisiä. Ensimmäinen viittaamasi on Weyl-muunnosten poikkeama, joka tapahtuu, kun CFT asetetaan kaarevalle taustalle. CFT on edelleen täsmälleen konformisesti invariantti tasaisessa tilassa, mutta taustan painovoimakenttä rikkoo tämän symmetrian. On hyödyllistä ajatella CFT: itä kahdessa ulottuvuudessa, kuten ilmainen massaton skalaari. Jos skaalat näiden teorioiden mukaan metristä konformaalikerrointa $ \ exp (2 \ omega) $, osiointitoiminto on muuttumaton Liouville-termiin asti, $ Z [\ exp (2 \ omega) \ delta_ {ab} ] = Z [\ delta_ {ab}] \ exp (\ int R \ Box ^ {- 1} R) $, josta olen jättänyt pois tekijät, kuten 48 ja $ \ pi ^ 2 $. Näet tämän ulottuvuussääntöjen avulla, jos haluat tehdä laskennan.

Toista jälkipoikkeamaa, josta kysyit, kutsutaan operaattorivirheeksi, ja sitä esiintyy myös tasaisessa tilassa. Se tapahtuu, kun sinulla on teoria, joka on klassisesti konformisesti muuttumaton, mutta ei kvanttisesti. Annoit hyvän esimerkin mittareiden teoriasta (vaikka vapaan Maxwell-kentän teoria ei todellakaan ole CFT 4 ulottuvuuden ulkopuolella! Katso http://arxiv.org/pdf/1101.5385.pdf ). Toinen hyvä esimerkki on kaarevan taustan merkkijonoteorian maailmansivuteoria eli epälineaarinen sigmamalli.

Kenttäteoriassa on yleensä molempia jälkianomaaleja. Jos se on CFT, sillä ei ole operatiivista tyyppiä.

P.S. pyysit myös operaattorin jälkien poikkeavuuksien sovelluksia. Tämä on vain teorian beetatoiminto, ja se seuraa koko renormalisointiryhmän teoriaa. Tämän tunnetuin sovellus hiukkasfysiikassa on todennäköisesti asymptoottisen vapauden käyttäminen QCD: n korkean energian käyttäytymisen ymmärtämiseen heikossa kytkennässä.