Käyttämällä "putoamisen" määritelmääsi, painavammat esineet putoavat nopeammin, ja tässä on yksi tapa perustella se: tarkastele tilannetta kahden kehon järjestelmän (Maan CM ja esimerkiksi mitä pudotat siihen). Jokainen esine käyttää voimaa toisiinsa

$$ F = \ frac {G m_1 m_2} {r ^ 2} $$

missä $ r = x_2 - x_1 $ ( olettaen, että $ x_2 > x_1 $) on erotusetäisyys. Joten objektilla 1 sinulla on

$$ \ frac {G m_1 m_2} {r ^ 2} = m_1 \ ddot {x} _1 $$

ja objektilla 2,

$$ \ frac {G m_1 m_2} {r ^ 2} = -m_2 \ ddot {x} _2 $$

Koska objekti 2 on oikealla, se vedetään vasemmalle negatiiviseen suuntaan. Peruuttamalla yleiset tekijät ja lisäämällä ne yhteen saat

$$ \ frac {G (m_1 + m_2)} {r ^ 2} = - \ ddot {r} $$

Joten on selvää, että kun kokonaismassa on suurempi, kiihtyvyyden suuruus on suurempi, mikä tarkoittaa, että esineiden yhteen tuleminen vie vähemmän aikaa. Jos haluat nähdä tämän matemaattisesti, kerro yhtälön molemmat puolet $ \ dot {r} \ mathrm {d} t $ saadaksesi

$$ \ frac {G (m_1 + m_2)} { r ^ 2} \ mathrm {d} r = - \ dot {r} \ mathrm {d} \ dot {r} $$

ja integroi,

$$ G ( m_1 + m_2) \ vasen (\ frac {1} {r} - \ frac {1} {r_i} \ oikea) = \ frac {\ piste {r} ^ 2 - \ piste {r} _i ^ 2} {2 } $$

Olettaen, että $ \ dot {r} _i = 0 $ (objektit alkavat suhteellisesta lepotilasta), voit järjestää tämän uudelleen

$$ \ sqrt {2G (m_1 + m_2)} \ \ mathrm {d} t = - \ sqrt {\ frac {r_i r} {r_i - r}} \ mathrm {d} r $$

mihin olen valinnut negatiivisen neliöjuuri, koska $ \ dot {r} < 0 $, ja integroi se uudelleen löytääksesi

$$ t = \ frac {1} {\ sqrt {2G (m_1 + m_2)}} \ biggl ( \ sqrt {r_i r_f (r_i - r_f)} + r_i ^ {3/2} \ cos ^ {- 1} \ sqrt {\ frac {r_f} {r_i}} \ biggr) $$

missä $ r_f $ on viimeinen keskipisteiden välinen etäisyys. Huomaa, että $ t $ on kääntäen verrannollinen kokonaismassaan, joten suurempi massa tarkoittaa pienempää törmäysaikaa.

Jos kyseessä on jotain maapalloa ja keilapallo, yksi massoista on paljon suurempi, $ m_1 \ gg m_2 $. Joten voit arvioida $ t $: n massariippuvuuden käyttämällä Taylor-sarjaa.

$$ \ frac {1} {\ sqrt {2G (m_1 + m_2)}} = \ frac {1} {\ sqrt {2Gm_1}} \ biggl (1 - \ frac {1} {2} \ frac {m_2} {m_1} + \ cdots \ biggr) $$

Johtava termi on täysin riippumaton arvosta $ m_2 $ (keilapallon tai minkä tahansa muun massa), ja siksi voimme sanoa johtavan järjestyksen likiarvona, että kaikki esineet putoavat samalla nopeudella maapallon pinnalle. Tyypillisille esineille, jotka voidaan pudottaa, ensimmäisen korjaustermin suuruus on muutama kilogramma jaettuna maapallon massalla, joka laskee 10 dollariin ^ {- 24} $. Joten maapallon liikkeen huomiotta jättäminen on epätarkkuus, joka on suunnilleen yksi osa biljoonaa biljoonaa, paljon pidemmälle kuin minkä tahansa nykyisen (tai jopa kuviteltavissa olevan) mittauslaitteen herkkyys.

Paradoksi ilmestyy, koska maapallon "lepokehys" ei ole inertiaalinen viitekehys, se kiihtyy. Pidä itsesi CM-viitekehyksessä, eikä ainakaan kahdelle kappaleelle ole paradoksaalia. Kun otetaan huomioon M-massan maa, massakappale $ m_i $ putoaa kohti massan keskipistettä $ x_ \ textrm {CM} = (M x_M + m_i x_i) / (M + m_i) $ kiihtyvyydellä $ GM / ( x_i-x_M) ^ 2 $. Huomaa, että $ \ ddot x_ \ textrm {CM} = 0 $

Olemme todellakin piilottaneet vain paradoksin, koska tietysti $ x_ \ textrm {CM} $ on erilainen kullekin $ m_i $: lle. Mutta tämä on ensimmäinen askel ongelman muotoilemiseksi kunnollisessa inertiakehyksessä.

Paradoksi palaa uudelleen, jos haluat päästä eroon $ (x_i-x_M) $: sta. Useimmissa sovelluksissa, nyt kun olet kiihtyvässä vertailujärjestelmässä, haluat ottaa huomioon siihen liittyvät etäisyydet, eli $ x_i-X_ \ textrm {CM} $. Ratkaisu on määritellä massa uudelleen. Koska $ x_i-x_ \ textrm {CM} = M (x_i - x_M) / (M + m_i) $, voimme sanoa, että objekti $ i $ putoaa massakeskukseen kiihtyvyydellä $ G {M ^ 3 \ yli (M + m_ i) ^ 2} {1 \ yli (x_i-x_ \ textrm {CM}) ^ 2} $ Voisit sanoa, että "korjaus on" massan keskellä olevan maan "todellinen massa.

Kun olet joutunut massan arvon muuttamisen temppuun, voit silti pysyä maan vertailukehyksessä. Tässä viitekehyksessä voiman ja kiihtyvyyden välinen suhdeluku on $ Mm_i / M + m_i $ Voit väittää, että tämä on kehon todellinen massa laskennan aikana. Tätä kutsutaan järjestelmän alennetuksi massaksi $ m_r $, ja voit nähdä, että pienille $ m_i $: lle se on melkein yhtä suuri kuin itse $ m_i $. Voit koskaan kirjoittaa joitain edellisistä kaavoista käyttämällä alennettua massaa $ m_r $ yhdessä alkuperäisten massojen kanssa, esimerkiksi yllä oleva $ {M ^ 3 \ over (M + m_ i) ^ 2} = M {m_r ^ 2 \ yli m ^ 2} $, mutta en ole varma kuinka hyödyllinen se on. Joka tapauksessa huomaat, että olit oikeassa "raskaammilla tarkoitetaan nopeammin", mutta että sitä hallitaan täydellisesti.

Kolmen objektin, m_1 ja m_2, jotka putoavat M: ään, on kysymys siitä, miten verrataan tapausta m_1 + m_2: een, joka putoaa M: ään. Erotat sisäisen, 1 ja 2 välisen ja ulkoisen voiman M. vastaan. Katso piste $ x_0 = {m_1 x_1 + m_2 x_2 \ yli m_1 + m_2} $. Sisäiset voimat eivät kiihdytä tätä kohtaa. Ja ulkoiset voimat siirtävät niitä muodossa $$ \ ddot x_0 = {1 \ yli m_1 + m_2} \ vasemmalle (m_1 {GM \ yli (x_1-x_M) ^ 2} + m_2 {GM \ yli (x_2-x_M) ^ 2 } \ oikea) = {F_1 + F_2 \ yli m_1 + m_2} $$

Tästä on tulossa pitkä ... ¡En voi laittaa kaikkia periaatteita yhteen vastaukseen !. Joten voit unohtaa kaikki edelliset asiat, pitää sitä vain merkityksenä merkintöjen korjaamiseen ja harjoitteluun, lue vastaus :

Jos nämä kaksi elintä ovat sama etäisyys $ x $ "ulkoisesta" maapallosta, he kärsivät saman ulkoisen kiihtyvyyden $ g = GM / (x-x_M) ^ 2 $, ja sama tapahtuu $ x_0 $: n kanssa. Jos molemmat kappaleet ovat likiarvossa, jossa $ g $ voidaan pitää vakiona, kuten Galileo alun perin piti (ja nykyaikainen $ g = 9,8 ~ {\ rm m / s ^ 2} $), niin heillä on sama kiihtyvyys - ja myös yhdistetty asento $ x_0 $ -. Jos ne eivät ole samalla etäisyydellä eivätkä vakio-yhtäläisen kaikkialla -kentän likiarvossa, voit silti tallentaa $ x_0 $ -liikkeen toimimaan ikään kuin se olisi painovoima jollekin yksittäiselle massalle $ m_T $, mutta sitten yhtälöiden manipulointi tuottaa $ x_1 $: n ja $ x_2 $: n suhteellisissa asemissa joitain kiihtyvyyksiä luokkaa $ 1 / (x_0-x_M) ^ 3 $. Tällaisia ​​voimia ovat " vuorovesivoimat ".

Jo annettujen vastausten lisäksi tämä voi myös kiinnostaa:

Kun vasara ja sulka pudotetaan samanaikaisesti, ne saapuvat samanaikaisesti, itsenäisesti pudotettuna vasara houkuttelee planeettaa enemmän kuin höyhen, joten olet oikeassa, kokonaisaika, kunnes isku on sitten pienempi vasaralle.

Jos nostat vasaran ja annat sen pudota maahan, kun sulka makaa maassa ja sen massa lisää planeetan massaa (laiminlyömällä desityn epähomogeenisuudet), se vie yhtä aikaa kuin kun otat sulan ja annat se putoaa vasaran ollessa maassa ja sen massa lisää planeettaa, koska m1 + m2 + m3 = vakio.

Kun pudotat vasaraa ja sulaa samanaikaisesti, sulka kulkee pidemmän matkan samanaikaisesti ja on siten nopeampi kuin vasara, koska planeetta liikkuu enemmän kohti vasaraa kuin höyheneen, ja sulka houkuttelee massojen suurimmalla summalla.

Pistemassojen alkuetäisyys on 1 metri; ensimmäisessä esimerkissä sinulla on 1000kg vs 100kg vs 1kg ja toisessa 1000kg vs 666.̇6kg vs 500kg. Kuten näette, "vasara" ja "sulka" saapuvat samanaikaisesti:

Vastaus on kyllä: periaatteessa on tällainen vaikutus. Kun pudotetun esineen massa on pieni verrattuna planeetan massaan, vaikutus on tietysti hyvin pieni, mutta periaatteessa se on siellä.

Olen samaa mieltä. Ymmärrykseni on myös sama.

Olettaen, että maa, mars ja kuu ovat samankokoisia - Jos maa ja mars missä ripustetaan avaruudessa (mars putoaa maahan), ne tulevat kosketuksiin nopeammin kuin - jos maa ja kuu riippuvat avaruudessa (kuu putoaa maan päälle) johtuen siitä, että mars aiheuttaisi maan kiihtyvän sitä enemmän kuin kuu. Tämä edellyttää, että kahden kohteen välinen etäisyys on alun perin sama. Maa houkuttelee molempia samalla nopeudella tietyllä etäisyydellä.

Olen myös kirjoittanut tänne tietoja siitä, mikä tapahtuisi ensin, jos kolme esinettä olisi mukana, kysyen ymmärrykseni on oikein. Se on klassinen omena-höyhen-kokeilu uudelleen. Toivon, että se selventää @KeithThompsonin kysymystä yllä.

D-vastuuvapauslauseke

En ole fyysikko, olen "vain" insinööri.

En ole varma, lasketaanko tämä vastauksena, mutta ainakin käytän joitain kirjoituksia :).

Kuvaan (yksiulotteisen) tilanteen näin:

• On olemassa kaksi massaobjektia $ m_1 $ ja $ m_2 $ . Piste keskellä on kunkin kohteen massakeskipiste.
• Massakeskipisteiden välistä etäisyyttä merkitään nimellä $ r $ .
• On myös viitekehys, jota ei ole lainkaan kiihdytetty (ns. inertiaalinen viitekehys ).
• Molemmat massat houkuttelevat toisiaan voimalla $ F $ , jota kuvataan Newtonin yleisen painovoiman lailla.

Kunkin objektin absoluuttinen kiihtyvyys $ \ ddot {x} _1 $ ja $ \ ddot {x} _2 $ voidaan muotoilla seuraavasti:

• $ \ ddot {x} _1 $ ja $ \ ddot {x} _2 $ mitataan inertiaalista viitekehystä vastaan.
• Kiihtyvyys on verrannollinen ( $ \ sim $ ) vastakkaisen indeksin ( $ 1 \ to2 $ ja $ 2 \ to1 $ ).
• Sulkeutuva kiihtyvyys $ a_ {closed} $ (tai lähestyy toistensa kiihtyvyyttä) on kuitenkin verrannollinen $ m_1 $ ja $ m_2 $ .

Kyllä, samalta korkeudelta pudotettu raskas esine putoaa nopeammin kuin kevyempi. Tämä pätee kummankin objektin loppukehykseen. Näet tämän kohdasta $ F = GmM / r ^ 2 = m \ cdot a = m \ cdot d ^ 2r / dt ^ 2 $.

Nopein "putoaminen" (koska määritämme uudelleen putoava) esine on kuitenkin fotoni, jolla ei ole massaa.

Kahden pistemassan vapaa pudotusaika on $ t = \ frac {\ pi} {2} \ sqrt {\ frac {r ^ 3} {2 G (m1 + m2)}} $.

Vapaa pudotusaika riippuu kahden massan summasta . Annetulla kokonaismassalla vapaapudotusaika on riippumaton näiden kahden massan suhteesta. Vapaapudotusaika on sama riippumatta siitä, onko m ₁ = m ₂ tai m ₁ >> m ₂ .

Kun ruumis nostetaan tietylle korkeudelle ja pudotetaan sitten, aika pudota maahan ei ole ei riippuvat kohteen massasta. Jos nostat pöytätennispallon ja pudotat sen, vie sama aika pudota maapallolle kuin keilapallo. Maapallon jakaminen kahteen massaan ei muuta näiden massojen summaa tai vapaapudotusaikaa.

Kuitenkin, kun tuodaan ulkoinen runko tietylle korkeudelle maapallon yläpuolelle ja putosi sitten, pudotusaika riippuu ulkokehon massasta. Koska maapallon ja ulkokehon summa riippuu ilmeisesti ulkokehon massasta.

"Suurin osa ruumiista putoaa samalla nopeudella maan päällä suhteessa maahan, koska maapallon massa M on erittäin suuri verrattuna useimpien putoavien kappaleiden massaan. Keho ja maa putoavat kumpikin kohti yhteistä massakeskipistettään, joka on useimmissa tapauksissa suunnilleen sama kuin maan suhteen. Periaatteessa vapaapudotuskokeen tulokset riippuvat siitä, ovatko putoavat massat peräisin maan päältä, ovatko maapallon ulkopuoliset , ovatko ne peräkkäisiä vai samanaikaisia ​​vai ovatko ne samanaikaisia ​​sattumanvaraisille tai erotetuille kappaleille jne. sama nopeus suhteessa maapalloon, koska summa m + M pysyy vakiona.
- ArXiv: Estää kvanttipainovoiman teorian

Oletukset:
Maa on eristetty (ei ole kuu, aurinko jne.).
Maa ei pyöri.
Maapallolla ei ole ilmapiiriä. (Kuumailmapallo putoaa ylöspäin, koska se on vähemmän tiheä kuin syrjäyttämä ilmakehä.)

Pudota 5 lb rautatangot ja 25 lb rautatangot samanaikaisesti. Se osuu maahan samanaikaisesti. Ainoa mahdollinen huomautus on takaiskuefekti, jonka Ted Bunn tuo esiin yllä.

Pidetään asia yksinkertaisena. Avain oppikirjani vuodelta 1964, "Fysiikka, 4. painos", Hausmann & Slack, Nostrum Co., NY, 1957. Kun tarkastelemme arjen esineiden lakeja vapaassa pudotuksessa lähellä maan pintaa (ainoa viitekehyksemme) , kaikki muut voimat poistettu tai neutraloitu, olemme Newtonin fysiikan valtakunnassa.

F = G (Mm) / r ^ 2; missä G on painovoiman vakio, M on maan massa, m on esineemme massa ja r on maan säde.

Määritelmän mukaan ollessa levossa maan pinnalla kohteen paino W on yhtälössä F = ma oleva vastavoima ja a = g, painovoiman aiheuttama kiihtyvyys. Siksi W = mg ja g = W / m. Korvaamalla kahden kohteen väliseen yleiseen painovoimayhtälöön meillä on:

W = G (Mm) / r ^ 2, siis W / m = GM / r ^ 2

Siksi W / m on vakio! Täten esine putoaa samalla kiihtyvyydellä massasta riippumatta lähellä maan pintaa.

Oliko minut huolissani hetkeksi :)

Yksinkertainen selitys on, että suuremman MASS.A = F / M: n objektin kiihdyttäminen vaatii enemmän VOIMAA tai vakion voimalla kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen MASS: iin. Se on seurausta inertiasta.

Suurempi pudotettu massa (massiivisille esineille) vaatii suurempaa voimaa kiihtyäkseen; lisäksi suurempi massa käyttää suurempaa painovoimaa.

Newtonin toisen lain asettaminen painovoimalakiin mitätöi massan ja tekee siitä syystä MASS: n, joka ei liity kahden painovoimaan liittyvän objektin kiihtyvyyteen.