Hyvä kysymys! Ensin sinun on tiedettävä, että pariteetti viittaa fyysisen järjestelmän tai jonkin matemaattisen funktion käyttäytymiseen, joka kuvaa tällaista järjestelmää. Pariteettia on kahta tyyppiä:

• Jos $ f (x) = f (-x) $, sanomme, että funktiolla $ f $ on tasainen pariteetti
• Jos $ f (x) = -f (-x) $, sanomme, että funktiolla $ f $ on pariton pariteetti

Useimmissa funktioissa tietenkään kumpikaan näistä ehdoista ei ole totta, ja siinä tapauksessa sanomme, että funktiolla $ f $ on määrittelemätön pariteetti.

Katsokaa nyt ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä 1D: ssä:

$$ - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ mathrm {d} ^ 2} {\ mathrm {d} x ^ 2} \ psi (x) + V (x) \ psi ( x) = E \ psi (x) $$

ja huomaa mitä tapahtuu, kun heijastetaan $ x \ to -x $:

$$ - \ frac {\ hbar ^ 2 } {2m} \ frac {\ mathrm {d} ^ 2} {\ mathrm {d} x ^ 2} \ psi (-x) + V (-x) \ psi (-x) = E \ psi (-x ) $$

Jos sinulla on symmetrinen (parillinen) potentiaali $ V (x) = V (-x) $, tämä on täsmälleen sama kuin alkuperäinen yhtälö paitsi että olemme muuttaneet $ \ psi (x) \: stä \ psi (-x) $. Koska nämä kaksi funktiota $ \ psi (x) $ ja $ \ psi (-x) $ tyydyttävät saman yhtälön, sinun pitäisi saada samat ratkaisut niille lukuun ottamatta yleistä kertolukua; toisin sanoen

$$ \ psi (x) = a \ psi (-x) $$

$ $ psi: n normalisointi edellyttää, että $ | a | = 1 $, mikä jättää kaksi mahdollisuutta: $ a = + 1 $ (parillinen pariteetti) ja $ a = -1 $ (pariton pariteetti).

Mitä tämä tarkoittaa fyysisesti, se kertoo sinulle, että aina kun sinulla on symmetrinen potentiaali, sinun pitäisi pystyä löytämään perusta omavaltioille, joilla on selvä parillinen tai pariton pariteetti (vaikka en ole osoittanut sitä täällä * teki siitä kohtuullisen). Käytännössä saat lineaarisia yhdistelmiä alkuperämaista, joilla on eri pariteetit, joten todellinen tila ei välttämättä ole symmetrinen (tai antisymmetrinen) alkuperän ympärillä, mutta se ainakin kertoo sinulle, että jos potentiaalisi on symmetrinen, voisit rakentaa symmetrinen (tai antisymmetrinen) tila. Sitä ei muuten taata. Sinun on todennäköisesti saatava joku muu tieto siitä, mihin tarkalleen määriteltyjä pariteettitiloja käytetään, koska se ei kuulu minun asiantuntemukselleni (ellet välitä alkeishiukkasten pariteetista, joka on melko oudompaa). / p>

* On pariteettioperaattori $ P $, joka kääntää tilan suunnan: $ Pf (x) = f (-x) $. Määritetyn pariteetin toiminnot ovat tämän operaattorin ominaisfunktioita. Uskon, että voit osoittaa selväpariteettisen ominaisuuden olemassaolon osoittamalla, että $ [H, P] = 0 $.

Valitettavasti löysin David Z: n vastauksen hieman hämmentyneenä keskustellessani ratkaisevasta kohdasta.

Koska funktiot ψ (x) ja ψ (−x) tyydyttävät saman yhtälön, voit pitäisi saada samat ratkaisut heille, lukuun ottamatta yleistä kertolukua; toisin sanoen

ψ (x) = aψ (−x)

Normalisointi ψ edellyttää, että | a | = 1, mikä jättää kaksi mahdollisuutta: a = + 1 (jopa >parity ) ja a = −1 (pariton pariteetti).

Ensimmäinen osa "Koska kaksi funktiota ... moninkertaistuva vakio" on yleensä väärä ilman tärkeää muuta vaatimus, jota ei taata tässä. On todellakin totta hypoteesin mukaan, että tarkastelemamme Hamiltonin operaattorin eigenspace, jonka ominaisarvo $ E $ on yksiulotteinen . Näin ei kuitenkaan ole yleensä. Lopuksi jäljellä oleva lause yllä olevasta lausekkeesta "Normalisointi ... pariteetti)." on joka tapauksessa virheellinen sellaisenaan: normalisointi vaatii vain $ | a | = 1 $ .

Saanen ehdottaa vaihtoehtoista vastausta.

Ensinnäkin esitellään pariteettimuunnos , $ P: {\ cal H} \ - {\ cal H} $ , jossa $ {\ cal H} = L ^ 2 (R) $ , määritellään seuraavasti viittaamatta mihinkään Hamiltonin operaattoriin :

$$ (P \ psi) (x): = \ eta_ \ psi \ psi (-x) \:. $$

Yläpuolella $ \ eta_ \ psi $ on kompleksiluku, jossa on $ | \ eta_ \ psi | = 1 $ . On välttämätöntä jättää tämä mahdollisuus, koska, kuten QM: ssä hyvin tiedetään, tilat ovat aaltotoimintoja vaiheeseen asti niin, että $ \ phi $ ja $ e ^ {i \ alpha} \ phi $ eivät ole erotettavissa tiloina, ja fyysisesti voimme käsitellä vain tiloja. Koska kartta $ P $ on (1) bijective ja (2) se säilyttää tilojen välillä siirtymisen todennäköisyydet , se on niin kutsuttu kvanttisymmetria . Wignerin juhlittu lause takaa, että jokainen kvanttisymmetria voidaan edustaa joko yhtenäisellä tai antitaarisella operaattorilla (itse symmetrian luonteesta riippuen). Tässä tapauksessa kaikki tämä tarkoittaa, että kartta $ \ psi \ mapsto \ eta_ \ psi $ on voitava korjata siten, että $ P $ muuttuu lineaariseksi (tai lineaariseksi) ja yhtenäiseksi (tai unitaariseksi). Itse asiassa $ P $ tulee yhtenäiseksi, jos oletetaan, että $ \ eta $ on riippumaton muoto $ \ psi $ . Joten päädyimme yhtenäiseen pariteettioperaattoriin :

$$ (P \ psi) (x): = \ eta \ psi (-x) \ quad \ psi \ muodossa L ^ 2 (R) $$

missä $ \ eta \ in C $ ja $ | \ eta | = 1 $ on mikä tahansa kiinteä numero. Voimme tehdä tarkemman valintamme $ \ eta $ edellyttäen, että $ P $ on myös havaittavissa , eli $ P = P ^ \ dagger $ . On heti varmistettava, että se tapahtuu vain $ \ eta = \ pm 1 $ . Merkin korjaaminen on kätevää asia. Oletamme tästä lähtien $ \ eta = 1 $ (mikään seuraava ei muutu toisen valinnan kanssa). Pariteettimme on havaittavissa / symmetrian antaa:

$$ (P \ psi) (x): = \ psi (-x) \ quad \ psi \ muodossa L ^ 2 (R) $$

Mikä on spektrin $ P $ ? Koska $ P $ on yhtenäinen, spektrin elementtien $ \ lambda $ on vahvistettava $ | \ lambda | = 1 $ . Koska $ P $ on itsenäinen, spektrin on kuuluttava todelliseen riviin. Päätelmämme on, että $ P $ sisältää enintään $ \ {- 1,1 \} $ . Koska nämä ovat erillisiä pisteitä, niiden on oltava oikeat ominaisarvot ja niihin liittyvät oikeat ominaisvektorit (tarkoitan: Diracin delta-kaltaisia ​​asioita ei oteta huomioon).

On mahdotonta, että spektri sisältää Vain $ 1 $ tai vain $ - 1 $ , muuten meillä olisi $ P = I $ span > tai $ P = -I $ , mikä on ilmeisesti väärä. Olemme havainneet, että $ P $ : lla on tarkalleen kaksi ominaisarvoa $ - 1 $ ja $ 1 $ .

Tässä vaiheessa voimme määrittää tilan, jota edustaa $ \ psi $ , jolla on tasainen pariteetti jos $ P \ psi = \ psi $ tai pariton pariteetti jos $ P \ psi = - \ psi $ span >.

Tulkaamme ongelmaksi Hamiltonin kanssa. Jos $ V (x) = V (-x) $ , suoralla tarkastuksella nähdään heti:

$$ [P, H] = 0 \:. $$

Olettaen, että $ H $ on puhdas pistespektri (muuten voimme rajoittaa itsemme käsittelemään Hilbert-tilaa, joka liittyy $ H $ pistespektriin, ottamatta huomioon jatkuvaan spektriin liittyvää) tunnettu lause varmistaa, että $ H $ ja $ P $ ominaisvektoreilla on Hilbert-perusta samanaikaisesti.

Jos $ \ psi_E $ on niin yleinen ominaisvektori (liittyy ominaisarvoon $ E $ $ H $ ), sen on vahvistettava joko $ P \ psi_E = \ psi_E $ tai $ P \ psi_E = - \ psi_E $ , nimittäin:

$ \ qquad \ qquad \ qquad \ psi_E (-x) = \ psi_E (x) $ tai $ \ psi_E (-x ) = \ psi_E (x) $ .

Lopuksi korostan, että on yleensä väärää, että $ H $ span ominaisvektori > on määritellyt pariteetin. Jos tietyn ominaisarvon omatilalla on ulottuvuus $ \ geq 2 $ , on helppo luoda vasta-esimerkkejä. On kuitenkin välttämättä totta, jos $ H $ on ulottuvuus $ 1 $ .

Mielestäni tämän pitäisi olla vaihtoehtoinen vastaus ensimmäisistä periaatteista.

Oletetaan, että Hamiltonin kieli on yksiulotteinen ja $ V (x) $ on tasainen funktio. Kun otetaan huomioon yleinen ratkaisu $ \ psi (x) $, meillä on myös, että $ \ psi (-x) $ on ratkaisu. Jos Hamiltonin alueen avaruus on yksiulotteinen, meillä on oltava $$ \ psi (x) = \ alpha \ psi (-x) $$ missä $ | \ alpha | = 1 $ .Moninkertaistaa molemmat puolet $ \ overline {\ psi (x)} $ ja integroi yli $ \ mathbb {R} $: $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} x \ \ yliviiva {\ psi (x)} \ psi (x) = \ alpha \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} x \ \ overline {\ psi (x)} \ psi (-x) $$ On suoraviivaista osoittaa muuttamalla muuttujia $ x = -z $, että oikeanpuoleinen integraali on yhtä suuri kuin sen monimutkainen konjugaatti, ja siksi se on todellinen. Koska vasen puoli on yhtä suuri kuin $ 1 $, meillä on oltava se $ \ alpha = \ pm 1 $.

Jos $ \ psi (x) $ ja $ \ psi (-x) $ ovat lineaarisesti riippumaton, niin en tiedä miten käsitellä tilannetta.

Kerro minulle, jos olet löytänyt puutteen argumentissani. Kippis.