Funktiot $ e ^ {i \ bf p \ cdot \ bf x} $ funktioina $ \ bf x $ ovat lineaarisesti riippumattomia erilaisille $ \ bf p $: ille, joten kaikki lineaarisen päällekkäisyyden kertoimet on integraalissa) on oltava nolla.

Syy siihen, että voit päästä eroon integraalista ja eksponentiaalista, johtuu Fourier-muunnoksen ainutlaatuisuudesta. Selvästi meillä on,

\ Aloita {tasaus} \ int \ frac {\, d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ 3} e ^ {i {\ mathbf {p}} \ cdot { \ mathbf {x}}} \ vasen (\ osal _t ^ 2 + {\ mathbf {p}} ^ 2 + m ^ 2 \ oikea) \ phi ({\ mathbf {p}}, t) & = 0 \\ \ int d ^ 3 x \ frac {\, d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ 3} e ^ {i ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {p}} ') \ cdot {\ mathbf {x}}} \ vasen (\ osal _t ^ 2 + {\ mathbf {p}} ^ 2 + m ^ 2 \ oikea) \ phi ({\ mathbf {p}}, t) & = 0 \\ \ vasen (\ osal _t ^ 2 + {\ mathbf {p}} ^ {\ prime 2} + m ^ 2 \ oikea) \ phi ({\ mathbf {p} '}, t) & = 0 \ end {tasaa} missä olemme käyttäneet,

\ begin {yhtälö} \ int d ^ 3 xe ^ {- i ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {p}} ') \ cdot x} = \ delta ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {p}} ') \ end {yhtälö} ja \ begin {yhtälö} \ int \ frac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} \ delta ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {p}} ') f ({\ mathbf {p}}) = f ({\ mathbf {p}}') \ end {yhtälö}

Näet $ \ left (\ frac {\ osal ^ 2} {\ osio t ^ 2} + | \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2 \ oikea) \ phi (\ mathbf {p} , t) $ funktion Fourier-muunnoksena. Ja mikä on sinun tehtäväsi? 0 ja mikä on 0: n Fourier-muunnos, hyvin nolla.

Koska $ e ^ {i \ textbf {p} \ cdot \ textbf {x}} $ on tasoaalto, se integroituu äärettömään, kun integraali otetaan haltuun koko liiketilassa. Jos integraalin on tarkoitus arvioida nollaksi, jäljellä oleva termi $ \ left (\ partial_t ^ 2 + | \ textbf {p} ^ 2 | + m ^ 2 \ oikea) \ phi \ left (\ textbf {p}, t \ oikealla) $: n on oltava identtisesti nolla.