Jos sinulla on kopio Griffithsistä, hänellä on siitä hyvä keskustelu delta-toimintopotentiaaliosassa. Yhteenvetona voidaan todeta, että jos energia on pienempi kuin potentiaalin arvoilla $ - \ infty $ ja $ + \ infty $, se on sidottu tila ja spektri on erillinen: $$ \ Psi \ vasen (x, t \ oikea) = \ sum_n c_n \ Psi_n \ vasen (x, t \ oikea). $$ Muussa tapauksessa (jos energia on suurempi kuin potentiaalin kohdalla $ - \ infty $ tai $ + \ infty $), se on sirontatila, ja spektri on jatkuva: $$ \ Psi \ left (x, t \ right) = \ int dk \ c \ left (k \ right) \ Psi_k \ left (x, t \ oikea). $$ Potentiaalille, kuten ääretön neliökaivo tai harmoninen oskillaattori, potentiaali menee dollariin $ + \ infty $ paikassa $ \ pm \ infty $, joten on vain sidottuja tiloja.
Vapaan hiukkasen ($ V = 0 $) energia ei voi koskaan olla pienempi kuin potentiaali missään ***, joten vain hajaantumistiloja on.
Vetyatomille $ V \ left (r \ right) = - a / r $ ja $ a > 0 $, joten $ E < 0 $: lla on sidotut tilat ja $ E>0 $: lla hajotustilat.
Päivitä
*** @Alex esitti pari kysymystä yhteistyössä miettii, miksi $ E>0 $ ilmaiselle hiukkaselle, joten ajattelin, että laajennan tätä kohtaa.
Jos järjestät aikariippumattoman Schrödingerin yhtälön muodossa $$ \ psi '' = \ frac {2m} {\ hbar ^ 2} \ vasen (VE \ oikea) \ psi $$ näet, että $ \ psi '' $: lla ja $ \ psi $: lla olisi sama merkki kaikille $ x $: lle, jos $ E < V_ {min} $ ja $ \ psi $ ei olisi normalisoitavissa (ei voi mennä dollariin $ $ $ \ pm \ infty $).
Mutta miksi alennamme $ E<V_ {min} = 0 $ -ratkaisut Tästä syystä pidä kuitenkin $ E>0 $ -ratkaisut, $ \ psi = e ^ {ikx} $, kun niitä liian ei voida normalisoida?
Vastaus on kokonaisaaltofunktion normalisointi arvolla $ t = 0 $ käyttäen sitä tosiasiaa, että jos aaltofunktio normalisoidaan arvolla $ t = 0 $, se pysyy normalisoituna koko ajan (katso yhtälöstä 147 alkava argumentti täällä):
$$
\ left< \ Psi | \ Psi \ right> = \ int dx \ \ Psi ^ * \ left (x, 0 \ right) \ Psi \ left (x, 0 \ right) = \ int dk '\ int dk \ c ^ * \ left (k' \ oikea) c \ vasen (k \ oikea) \ vasen [\ int dx \ \ psi ^ * _ {k '} \ vasen (x \ oikea) \ psi_k \ vasen (x \ oikea) \ oikea] $$
$ E>0 $, $ \ psi_k \ left (x \ right) = e ^ {ikx} $ jossa $ k ^ 2 = 2 m E / \ hbar ^ 2 $ ja $ x $ -integraali hakasulkeet ovat $ 2 \ pi \ delta \ left (k-k '\ right) $, joten
$$ \ left< \ Psi | \ Psi \ right> = 2 \ pi \ int dk \ \ left | c \ left (k \ right) \ right | ^ 2 $$ joka voi olla yhtä suuri kuin $ 1 $ sopivalla valinnalla $ c \ left (k \ right) $ .
$ E<0 $, $ \ psi_k \ left (x \ right) = e ^ {kx} $ jossa $ k ^ 2 = - 2 m E / \ hbar ^ 2 $ ja $ x $ integraali hakasulkeissa eroaa, joten $ \ left< \ Psi | \ Psi \ right> $ ei voi olla yhtä suuri kuin $ 1 $.